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什么是对数函数?


来源:南通家教网 日期:2012-12-17

对数函数是数学函数中的一种,它的解法在很大一程度上是比较有规律的。依据图形解题是比较快的一种解题方式。解这方面的问题,关键在于学会作图。对数函数实际上是指数函数的反函数。
一、对数的一些相关概念
一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。
真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,   底数则要大于0且不为1
。对数函数的底数为什么要大于0且不为1?
 【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是,根据对数定义: log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等)】   
通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把loge N 记为In N。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:  
 当a 〉0,a≠ 1时,a^X=N→X=logaN。   由指数函数与对数函数的这个关系,
可以得到关于对数的如下结论:   负数和零没有对数   loga 1=0 log以a为底a的对数为1(a为常数)
二、对数的基本性质
当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:  
 (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);  
 (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);  
 (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)  

 (4)log(a^n)(M)=(1/n)log(a)(M)(n∈R)  
 (5)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)  
 (6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明:   设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)  
 (7)对数恒等式:a^log(a)N=N;
三、对数函数常用的表达式

(1)log(a)(b)=log(a)(b)   (2)lg(b)=log(10)(b)   (3)ln(b)=log(e)(b)
四、对数函数重点例题讲解
1.函数y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数。又知y=f(x)在[0,3]上是一次函数,在[3,6]上是二次函数,且当x属于[3,6]时,f(x)小于等于f(5)=3,f(6)=2,试求y=f(x)的解析式。
答:函数y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数。又知y=f(x)在[0,3]上是一次函数,在[3,6]上是二次函数,且当x属于[3,6]时,f(x)小于等于f(5)=3,f(6)=2,
可设 f(x)=a(x-5)^2+3 a<0
f(6)=2
则 a+3=2解得 a=-1
故 f(x)=-(x-5)^2+3=-x^2+10x-22 3<=x<=6
f(3)=-1 f(0)=0
则 0<=x<=3 f(x)=-x/3
函数y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数
故 -3-6<=x<=-3 f(x)=x^2+10x+22

综合 -6<=x<=-3 f(x)=x^2+10x+22
-3 0<=x<=3 f(x)=-x/3
3<=x<=6 f(x)=-x^2+10x-22
试求y=f(x)的解析式。

2.已知函数f(x)=(x-a)/(x-2),若a属于R,且方程f(x)=-x恰有一根落在区间(-2,-1)内,求a的取值范围.
答:f(x)=-x
(x-a)/(x-2)=-x
x^2-x-a=0
令g(x)=x^2-x-a
1°g(x)与x轴有一个交点
△=1+4a=0=>a=-1/4
x=1/2不属于(-2,-1)
a不等于-1/4
2°g(x)与x轴有两个交点
△>0且g(-1)*g(-2)<0=>a属于(2,6)
所以a属于(2,6)

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