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南通家教:高一数学练习


来源:南通家教老师 日期:2018/4/13
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.函数f(x)=lgx-1x的零点所在的区间是(  )
A.(3,4)  B.(2,3)
C.(1,2)  D.(0,1)
答案:B
解析:∵函数f(x)=lgx-1x,
∴f(2)=lg2-12=lg2-lg10 <0,
f(3)=lg3-13=lg3-lg10 >0,
∴f(2)f(3)<0
由零点的存在性定理可知:零点所在的区间为(2,3),故选B.
2.如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+2x+a的零点所在区间是(  )
 
A.14,12  B.(1,2)
C.12,1  D.(2,3)
答案:C
解析:解:由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,
而g(x)=lnx+2x+a在定义域内单调递增,
g(12)=ln12+1+a<0,
g(1)=ln1+2+a=2+a>0,
∴函数g(x)=lnx+2x+a的零点所在的区间是(12,1);
故选C.
3.已知函数y1=1x-1,y2=-x2+2,y3=2x2-1,y4=2x-x3,其中能用二分法求出函数零点的函数个数为(  )
A.4  B.3
C.2  D.1
答案:A
解析:画出四个函数的图象,它们都存在区间[a,b],使f(a)•f(b)<0,因此,都可以用二分法求零点.
4.函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的区间是(  )
A.(0,1)    B.(1,2)
C.(2,e)  D.(3,4)
答案:B
解析:f(1)=ln2-2<0 f(2)ln3-1>0∴f(x)的零点所在区间是(1,2)
5.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示,盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半,设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是(  )
 
A.h2>h1>h4  B.h1>h2>h3
C.h3>h2>h4  D.h2>h4>h1
答案:A
解析:饮各自杯中酒的一半,柱形杯中酒的高度变为原来的一半,其他的比一半大,前三个杯子中圆锥形的杯子酒的高度最高,可排除选项B、C、D.
6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则每件产品的平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(  )
A.60件   B.80件
C.100件  D.120件
答案:B
解析:若每批生产x件产品,则平均每件产品的生产准备费用是800x元,仓储费用是x8元,总的费用是800x+x8元.因为y=800x+x8=800x-x82+20≥20,当800x=x8,即x=80时取等号,所以每批应生产产品80件.
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:min)为f(x)=cx,x<AcA,x≥A(A,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是________.
答案:60,16
解析:因为组装第A件产品用时15 min,所以cA=15 ①;所以必有4<A,且c4=c2=30 ②,联立①②解得c=60,A=16.
8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0所在的区间是(n,n+1)(n∈Z),则n=________.
答案:1
解析:画出函数y=x3和y=12x-2的图象,如图所示.由函数图象,知1<x0<2,所以n=1.
 
9.若关于x的方程|x|x-2=kx有三个不等实数根,则实数k的取值范围是________.
答案:0,12
解析:由题意可知k≠0,
∵|x|x-2=kx,∴kx2-2kx=|x|.
当x≥0时,kx2-2kx=x,
解得x=0或x=2k+1k,
∴2k+1k>0,∴k>0或k<-12;
当x<0时,kx2-2kx=-x,
解得x=0(舍去)或x=2k-1k,
∴2k-1k<0,∴0<k<12.
综上可知,k的取值范围是0,12.
三、解答题(本大题共4小题,共45分)
10.(12分)已知函数f(x)=4x+m•2x+1仅有一个零点,求m的取值范围,并求出零点.
解:f(x)= 4x+m•2x+1仅有一个零点,即方程(2x)2+m•2x+1=0仅有一个实根.令t=2x.(t>0).
①当Δ=0,即m2-4=0,
∴m=±2.∴t=1或-1(舍).∴2x=1.
即x=0满足题意,
即m=-2时,有唯一的零点0.
②当Δ>0,即m<-2或m>2.
t2+mt+1=0有一正一负两根满足条件,则t1t2<0,又t1t2=1>0,故不成立.
综合所述,m=-2时,f(x)有唯一的零点0.
11.(13分)证明方程2x+x=4在区间(1,2)内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度为0.3).
参考数据:
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解:设函数f(x)=2x+x-4,
∵f(1)=-1<0,f(2)=2>0,
f(x)在区间(1,2)上单调递增,
∴f(x)在区间(1,2)内有唯一的零点,
则方程2x+x-4=0在区间(1,2)内有唯一一个实数解.
取区间(1,2)作为起始区间,用二分法逐次计算如下:
区间 中点的值 中点的函数值 区间长度
(1,2) 1.5 0.33 1
(1,1.5) 1.25 -0.37 0.5
(1.25,1.5) 1.375 -0.031 0.25
由上表可知,区间(1.25,1.5)的长度为0.25<0.3.
∴方程的实数解为1.375.
能力提升
12.(5分)若容器A有m升水,将水慢慢注入容器B,t分钟后A中剩余水量y符合指数函数y=me-at(e为自然对数的底).假设经过5分钟时,容器A和容器B水量相等,且又过n分钟容器A中水只有m8,则n的值为(  )
A.7  B.8
C.9  D.10
答案:D
解析:m•e-5a=12m,m•e-a5+n=m8,
∴e-5a=12,e-a(5+n)=18∴e-15a=e-a(5+n),15=n+5,n=10.
13.(15分)某租车公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加60元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费160元,未租出的车每月需要维护费60元.
(1)当每辆车的月租金定为3 900元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租车公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解:(1)租金增加了900元,所以未租出的车有15辆,一共租出了85辆.
(2)设租金提高后有x辆未租出,则已租出(100-x)辆.租赁公司的月收益为y元,y=(3 000+60x)(10-x)-160(100-x)-60x,其中,x∈[0,100],x∈N,整理,得y=-60x2+3 100x+284 000=-60x-15562+972 1253.
当x=26时,ymax=324 040,即最大月收益为324 040元.
此时,月租金为3 000+60×26=4 560(元).
 
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编辑者:南通家教南通家教网)