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南通家教:高一数学平面向量的数量积培养与测试


来源:南通家教老师 日期:2018/6/28
一、选择题
 
(     )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
2.若a=(1,3),b=(-2,-1),则(3a+2b)•(2a+5b)等于
[    ]
 
B.55
C.15
D.205
3.若a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围为
[    ]
 
 
一定是
[    ]
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
 为直角三角形,则k的值为
[    ]
 
二、填空题
6.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为________,b在a方向上的投影为________.
7.与a=(3,-4)共线的单位向量是_______,与a=(3,-4)垂直的单位向量是________.
 
9.已知a=(x-4,x-3),b=(3x-9,-3).若a∥b,则x=________;若a⊥b,则x=_______.
 
,则a的坐标为_______.
三、解答题
11.已知平面内三个已知点A(1,7),B(0,0),C(8,3),D为线段BC上的一点,且(  +  +  )⊥BC,求点D的坐标.
12.设  =(3,1),  =(-1,2),  ⊥  ,  =  +  ,且  ∥  ,求  .
13.已知x=a+b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,a⊥b.
(1)求|x|,|y|;
(2)若x与y的夹角为θ,求cosθ的值.
14.已知a=(3,4),b=(4,3),c=xa+yb,且a⊥c,|c|=1,求x和y的值.
15.已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O,M为BC边的中点,由顶点A作AD⊥BC,并在AD上取一点H,使AH=2OM,又H,M在直线BC的同一侧,且  =a,  =b,OC=c.
 
(1)用a,b,c表示  ,  ;
(2)证明BH⊥AC,CH⊥AB.
 
参考答案
 
一、选择题
1.(A).
2.(C).
3a+2b=(-1,7),2a+5b=(-8,1),
于是(3a+2b)•(2a+5b)=(-1)×(-8)+7×1=15.
3.(A).
a与b的夹角为θ,θ为钝角时cosθ<0,即a•b<0,而a•b=-3λ+10.
 
4.(D).
 
1=1+1+2×1×1×cosθ,
 
∴  θ=120°.
 
由平面几何知识可知△P1P2P3是等边三角形.
5.(D).
分三种情况.
当A=90°时,  ⊥  ,  •  =0,有
2+3k=0,
 
当B=90°时,  ⊥  ,  •  =0,有
 =  -  =(-1,k-3),-2+3(k-3)=0.
 
当C=90°时,  ⊥  ,  •  =0,有
1×(-1)+k(k-3)=0,
k2-3k-1=0,
 
 
二、填空题
 
a在b方向上的投影为ab=|a|cosθ.
 
又  a•b=2×(-4)+3×7=13.
对a与b的夹角θ,有
 
而b在a方向上的投影为ba=|b|cosθ.
 
 
 
∵  a=(3,-4),
 
 
设与a垂直的向量为b(b1,b2),则
3b1-4b2=0.
 
 
 
8.x=(6,4)或x=(-6,-4).
设  x=(x1,x2),则
 
又  x⊥y,y=(-2,3).
∴  x•y=0,
-2x1+3x2=0.                          ②
由①与②解得
x1=±6,x2=±4.
∴  x=(6,4)或(-6,-4).
 
当a⊥b时,x=3或x=5.
当a∥b时,
∵  a=(x-4,x-3),b=(3x-9,-3),有
(x-4)×(-3)-(x-3)×(3x-9)=0,
-3x+12-3x2+9x+9x-27=0,
x2-5x+5=0.
 
当  a⊥b时,a•b=0,有
(x-4)(3x-9) +(x-3)×(-3)=0,
x2-8x+15=0,
∴  x=3或x=5.
10.a=(1,-2).
 
 
代入到原函数式,得
 
 
 
∴  h=1,k=-2.
∴  a=(1,-2).
三、解答题
11.∵  A(1,7),B(0,0),C(8,3),
∴   =(8,3).
又∵  D在线段BC上,
∴   =t  (t∈R).
即   =(8t,3t),又B(0,0).
∴  D点坐标为(8t,3t).
又   =(1,7),  =(-7,4),
 =(1-8t,7-3t),
∴   +  +  =(1,7)+(-7,4)+(1-8t,7-3t),
即   +  +  =(-5-8t,18-3t).
又 ∵  (  +  +  )⊥  ,
∴  (  +  +  )•BC=0.
∴  (-5-8t)×8+(18-3t)×3=0.
14-73t=0,
 
 
12.设   =(d1,d2),
∵   =(3,1),  =  +  ,
∴   =(d1+3,d2+1).
故   =  -  =(d1+4,d2-1).
又∵   ⊥  ,
∴   •  =0,
即  (d1+3)×(-1)+(d2+1)×2=0,
∴  2d2-d1=1.
又∵   ∥  ,
∴  (d1+4)×1-(d2-1)×3=0,
3d2-d1=7.
②-①得  d2=6.代入到①得d1=11,
∴   =(11,6).
13.(1)|x|2=x2=(a+b)•(a+b)
=|a|2+2a•b+|b|2.
∵  |a|=|b|=1,a⊥b,
∴  a•b=0.
∴  |x|2=2,
 
同样,|y|2=y2=(2a+b)•(2a+b)=4|a|2+4a•b+|b|2=5.
 
(2)x•y=(a+b)•(2a+b)
=2|a|2+3a•b+|b|2=3.
 
14.解法一  ∵  a=(3,4),b=(4,3),c=xa+yb.
∴  c=(3x,4x)+(4y+3y)=(3x+4y,4x+3y).
又∵  a⊥c,
∴  a•c=0.
∴  3(3x+4y)+4(4x+3y)=0,
即  25x+24y=0.
又∵  |c|=1,
∴  (3x+4y)2+(4x+3y)2=1,
25x2+48xy+25y2=1,
25x2+24xy+24xy+25y2=1,
x(25x+24y)+24xy+25y2=1.
①代入②得
24xy+25y2=1.
 
 
解法二  设  c=(c1,c2).
∵  a⊥c,a=(3,4).
∴  a•c=0,
3c1+4c2=0.
 
又∵  |c|=1,
 
 
又已知c=xa+yb=(3x+4y,4x+3y).
 
 
15.(1)∵  M为BC的中点,
 
由于O为△ABC外接圆的圆心,
∴  OA=OB=OC.
即|a|=|b|=|c|,
∴   •  =0,
∴   ⊥  ,
即  BH⊥AC.
同理   =  +  =a+b,
 =b-a.
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